大跨徑懸索橋幾何非線性分析簡述
2018-05-21
0 引言
懸索橋又稱吊橋，由懸索、索塔、錨碇、吊桿、橋面系等部分組成 。在有限元線性分析中假設(shè)：節(jié)點(diǎn)位移為無限小量；材料為線彈性，即材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系滿足廣義虎克定律；加載時邊界條件的性質(zhì)保持不變。當(dāng)這三條假設(shè)中任意一條不能滿足時，則必須考慮結(jié)構(gòu)非線性。在受力本質(zhì)上懸索橋?qū)儆谌嵝运鲬覓祗w系，在正常設(shè)計(jì)荷載作用下，即使材料應(yīng)力沒有超過彈性范圍，其荷載也呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系。所以在懸索橋設(shè)計(jì)計(jì)算中必須考慮非線性影響。
1 懸索橋幾何非線性影響因素
從有限位移理論的角度來分析，懸索橋的非線性影響因素主要有以下三方面：
?。?）荷載作用下的結(jié)構(gòu)大位移
這是作為柔索結(jié)構(gòu)的最主要的非線性影響因素。懸索橋在受外荷載作用時，不僅纜索及加勁梁發(fā)生下?lián)?，而且吊桿也將伸長，索塔會壓縮，吊桿還將發(fā)生傾斜，節(jié)點(diǎn)還有水平位移，凡此種種，都對懸索橋內(nèi)力產(chǎn)生影響。因此在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，力的平衡方程應(yīng)依據(jù)變形后結(jié)構(gòu)的幾何位置來建立。力與變形的關(guān)系是非線性的。
?。?）纜索自重垂度的影響
在有限元法分析時，纜索單元常取為直桿單元，而實(shí)際在自身重力的作用下纜索具有一定的垂度纜索在受力后發(fā)生的變形是由彈性變形及垂度變化的非線性變形兩部分組成，其變形值將比為直桿大。
?。?）纜索初始內(nèi)力的影響
纜索在恒載作用下具有一定的初應(yīng)力，使其可以維持一定的幾何形狀。當(dāng)后續(xù)荷載作用時，纜索形狀發(fā)生改變，而初應(yīng)力對后續(xù)狀態(tài)的變形存在著抗力，反映了纜索的幾何非線性性質(zhì)。
2 懸索橋幾何非線性分析方法及求解
懸索橋的分析理論，主要有不計(jì)幾何非線性影響的線彈性理論，計(jì)及恒載初內(nèi)力和結(jié)構(gòu)豎向位移影響的撓度理論和充分考慮各種非線性影響的有限位移理論。有限位移理論是目前懸索橋結(jié)構(gòu)分析中，理論上最嚴(yán)密精確和適用性好的較為完善的理論。
2.1幾何非線性分析方法
2.1.1幾何非線性分析的基本原理
應(yīng)用虛功原理建立非線性方程時的拉格朗日列式法分為全拉格朗日式法與更改的拉格朗日列式法兩種. 全拉格朗日列式法推導(dǎo)的幾何非線性方程為
( [ K 0 ] + [ K R] + [ K D] ) {D} = [ K T ] { D} = {R}
式中, [ K T ] , [ K 0] , [ K R] 及[ K D] 分別為切線剛度矩陣、彈性剛度矩陣、幾何剛度矩陣及大位移剛度矩陣.
更改的拉格朗日列式法導(dǎo)出的幾何非線性方程為
( [ K 0 ] t+ [ K R] t ){D} = [ K T] { R} = {R}
式中[ K 0] t 及[ K R] t 分別為t 時刻的彈性剛度矩陣及幾何剛度矩陣.更改的拉格朗日列式法與全格拉朗日列式法相似, 重要區(qū)別在于沒有大位移矩陣, 并且[ K 0 ] 及[ K R] 是在t 時刻物體域中進(jìn)行積分, 而全拉格朗日列式法[ K 0]、[ K R] 及[ K D] 是在未變形前, 即t= 0時刻物體域上進(jìn)行積分, 因此, 更改的拉格朗日式法在每一增量結(jié)束時,必須計(jì)算結(jié)構(gòu)變形后新的坐標(biāo),彈性剛度矩陣[ K 0 ] 及幾何剛度矩陣[ K R] 建立在已變形的t 時刻結(jié)構(gòu)初始狀態(tài). 工程界俗稱的非線性剛度矩陣法屬于全格拉朗日列式法, 而拖動坐標(biāo)法則屬于更改的拉格朗日列式法.懸索橋主要是靠主纜的初始拉力來獲得結(jié)構(gòu)剛度,更改的拉格朗日列式法更適合于懸索橋的結(jié)構(gòu)計(jì)算.
2.1.2基本步驟
采用更改的拉格朗日列式法及New ton-Rapshon 迭代法解非線性方程的基本步驟：
1) 以t 時刻的初始狀態(tài), 形成t 時刻的初始切線剛度矩陣[ K T] ,荷載矩陣{R} ; 解線性方程[ K T]0{D} = {R} , 得位移{D1} 及內(nèi)力{F1} , 即為位移及內(nèi)力的第一次近似值;
2) 依據(jù){ D1} 計(jì)算結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的新的整體坐標(biāo), 在新的坐標(biāo)下形成彈性總剛[ K 0 ] 1及幾何剛度矩陣[ K R]1;
3) 計(jì)算新的結(jié)點(diǎn)力向量{F( D1) } = [ K T ]1{ D1} ;
4) 計(jì)算不平衡力列陣{ ΔP1} = {R } - {F( D1 )} ;
5) 解方程[ K T ] 1 { ΔD1} = {ΔP } 1, 求出位移增量{ ΔD1 } , 得到位移的第2次近似值{ D2} ={D1 } + { ΔD1} ;
6) 檢查收斂性, 若不滿足, 返回步驟2) , 直至ΔDi/ Di≤為止.
2.2幾何非線性平衡方程
2.2.1幾何非線性平衡方程的建立
對于具有n 個自由度的彈性體系, 其非淺性平衡方程可表達(dá)為:
= ( , ,… ,)K=1,2，…，n
式中: 為外荷載向量的第k 個分量，為關(guān)于整體坐標(biāo)的第k 個非線性函數(shù)；，，…，為整體坐標(biāo)
2,2,2幾何非線性平衡方程的求解方法
懸索橋幾何非線性的基本計(jì)算方法：增量法、迭代法、混合法。
?。?)增量法。
增量法是指荷載以增量的形式逐級加上去, 在每個荷載增量作用過程中假定結(jié)構(gòu)的剛度是不變的, 在任一荷載增量區(qū)間內(nèi)結(jié)點(diǎn)位移和桿端力都由區(qū)間起點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)剛度算出, 然后利用求得的結(jié)點(diǎn)位移和桿端力求出相對于增量區(qū)間終點(diǎn)變形后位置上的結(jié)構(gòu)剛度, 作為下一個荷載增量的起點(diǎn)剛度。
?。?）迭代法
迭代法是將整個外荷載一次性加到結(jié)構(gòu)上, 結(jié)點(diǎn)位移用結(jié)構(gòu)變形前的切線剛度求得, 然后根據(jù)變形后的結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)構(gòu)剛度求得桿端力。由于變形前后的結(jié)構(gòu)剛度不同, 產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)不平衡荷載, 為了滿足結(jié)點(diǎn)平衡, 將這些不平衡荷載作為結(jié)點(diǎn)荷載作用在結(jié)點(diǎn)上, 計(jì)算出相對于變形后的結(jié)點(diǎn)位移量, 反復(fù)這一迭代過程,直至不平衡荷載小于準(zhǔn)許值為止。
?。?）混合法
混合法結(jié)合了荷載增量法和迭代法的優(yōu)點(diǎn), 混合法中初始荷載和每次循環(huán)后的不平衡荷載都是以增量的形式施加, 在每個荷載增量后對剛度作一次調(diào)整, 這樣可以加快收斂速度, 對于斜拉橋這種迭代次數(shù)要求較高的結(jié)構(gòu)是很適宜的。
2.2.3收斂準(zhǔn)則
采用位移收斂準(zhǔn)則和失衡力收斂準(zhǔn)則同時控制迭代次數(shù)。
位移收斂準(zhǔn)則要求所有節(jié)點(diǎn)第i 次迭代所得位移增量與總位數(shù)之比小至給定精度為止, 即: Max≤
失衡力收斂準(zhǔn)則要求所有節(jié)點(diǎn)第i 次迭代所得失衡力與總荷載之比小至給定精度為止, 即: Max≤
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