空間纜索懸索橋的主纜線形分析
2018-02-22
引言
空間纜索懸索橋是由主纜和吊索形成的三維索系，其外形美觀，改善了結構的橫向受力性能及動力穩(wěn)定性，受到了設計者的青睞。目前空間纜索懸索橋多用于城市自錨式懸索橋，由于空間纜索體系有其獨特的優(yōu)點，將來大跨徑懸索橋也可能采用空間纜索體系。
一、空間主纜成橋線形計算方法
主纜線形的精確計算直接決定了主纜的無應力長度、吊點位置及吊索的無應力長度，進而影響橋面線形及橋塔偏位，因此準確計算主纜線形至關重要。目前主纜的計算理論按照假定不同分為傳統(tǒng)拋物線理論、分段拋物線理論、分段直線理論及分段懸鏈線理論。在忽略主纜抗彎剛度影響將其當作柔性索處理時，分段懸鏈線理論的假定最符合實際情況，是最為精確的理論，本文即以空間分段懸鏈線理論為基礎建立空間主纜線形的計算方法?；诜侄螒益溇€理論的空間索段的狀態(tài)方程、分點力學平衡方程及幾何相容方程即構成了空間纜分段懸鏈線理論的基本方程。只要各索段的無應力長度和一個支點的三向分力確定，則可根據(jù)上述方程計算出懸索各分點的內(nèi)力和坐標，本跨主纜的線形就完全確定了。
對空間纜索體系懸索橋，當?shù)跛髫Q向分力及主纜控制點坐標給定時，主纜的線形便是唯一確定的?？臻g主纜的橫向矢跨比不能任意給定，即在一組確定的吊索豎向分力的作用下，其橫向矢跨比應是一定值，對應著一組唯一確定的吊索橫向分力。因空間主纜線形和吊索力是耦合的，所以空間主纜線形的計算必須同時考慮吊索的影響，不能將吊索和主纜分開來處理?？臻g纜索的吊索是傾斜的，和主纜一樣吊索也應當作懸鏈線來計算，這樣得到的吊索分力便是精確值。在主纜線形迭代計算中，根據(jù)吊索上、下吊點坐標(上吊點由當前主纜分點坐標確定)、吊索下吊點豎向分力，采用Newton-Raphson法可迭代計算出吊索的無應力長度及下吊點水平力分量。
懸索橋成橋線形的計算順序總是先中跨，后邊跨最后錨跨。即先由中跨計算得出主纜縱橋向水平分力，根據(jù)塔頂兩側縱橋向水平分力相等的原則計算邊跨，再根據(jù)散索鞍的平衡條件計算錨跨。以中跨為例說明空間主纜線形的迭代算法，其計算流程如圖1，具體計算方法如下:
圖1中跨主纜線形計算流程
?。?）按拋物線理論計算主纜始端(左鞍座IP點)的三向分力FXL，F(xiàn)YL，F(xiàn)ZL作為迭代變量初值;
?。?）從左向右對各索段進行計算，對第i索段由左端三向分力FXi，F(xiàn)Yi，F(xiàn)Zi及兩端縱橋向坐標差LXi由索段狀態(tài)方程可計算出索段無應力長度Si0及LYi，LZi，同時得到索段右端坐標;
（3）對第i號吊索，由2)計算出的上吊點坐標及已知的下吊點坐標、下吊點豎向分力，由假定成橋狀態(tài)吊索僅在橫向平面內(nèi)傾斜知下吊點處縱向水平分力為零，可計算出該吊索無應力長度及上吊點處的吊索力分量;
?。?）由力學平衡條件可得第i+1索段的左端三向分力，按相同的方法計算各索段的無應力長度、右端坐標、吊索無應力長度及上吊點分力，直到第N索段;
?。?）以主纜末端(右鞍座IP點)的Y，Z坐標及跨內(nèi)指定點的Y向坐標為目標變量，利用修正的影響矩陣法獲得迭代變量的增量，反復迭代直到目標變量誤差小于允許值為止。
在迭代計算中，首先要確定迭代變量(即主纜始端三向分力)的初值。如果初值選取不當，可能造成收斂速度慢甚至不收斂，因此選取合理的迭代初值是確保迭代快速收斂的必要條件。假定空間主纜在橋軸線所在的豎平面及水平面的投影均為拋物線，根據(jù)經(jīng)驗假定橫橋向矢跨比為半橋?qū)挼?.65～0.80倍，將吊索當作直桿處理，根據(jù)上、下吊點坐標及吊索豎向分力來確定吊索橫向分力。則可根據(jù)拋物線理論計算迭代變量的初值，計算公式如下
式中，l為跨徑;q為主纜自重荷載集度;w為沿跨長的等效均布荷載;C為兩支點高差;f為跨中垂度;S為主纜形狀長度;Yi，Zi，Ymi，Zmi為上、下吊點的豎向及橫向坐標;PYi，PZi為吊索的豎向分力和橫向分力。
二、修正的影響矩陣法
采用數(shù)值解析法計算主纜線形時，不管是成橋狀態(tài)還是空纜狀態(tài)，均存在一個非線性迭代的問題，迭代方法的優(yōu)劣將直接關系到計算的斂散性及求解速度的快慢。迭代法的核心是根據(jù)當前狀態(tài)誤差確定下一輪迭代變量較上一輪的增量。目前用于平面纜索線形計算的迭代法主要有線形變化剛度矩陣法和影響矩陣法兩種。但在空間纜索線形計算中，這兩種方法可能面臨計算難以收斂的問題，為此本文提出一種修正的影響矩陣法用于空間纜索線形的計算。影響矩陣法即逐一改變迭代變量，計算相應的各目標變量，最終可得到迭代變量的變化值與目標變量的變化值之間的關系，也就是影響矩陣。然后根據(jù)目標變量當前的誤差，通過矩陣運算即可得到迭代變量的修正值，修正迭代變量后即可進入下一個循環(huán)。
設迭代變量為{X}=(x1，x2，…，xn)T，目標變量為{D}=(d1，d2，…，dn)T，目標變量和迭代變量滿足以下關系:{D}=(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))T。
（1）計算當前迭代變量{X}0對應的目標變量{D}0，得到誤差向量{E}={D}0－{D}。
?。?）令當前迭代變量{X}0中第j個元素xj增加Δxj，得到對應的目標變量{D}j，則xj發(fā)生單位變化引起目標變量的變化向量{C}j=({D}j－{D}0)Δxj，記為:{C}j=(C1j，C2j，…，Cnj)T。
（3）n個迭代變量分別發(fā)生單位變化，引起的n個目標變量的變化向量依次排列所形成的矩陣［C］n×n，即為影響矩陣，記為
?。跜］=［{C}1{C}2…{C}j…{C}n］。
（4）解方程組［C］{ΔX}=－{E}，則得到迭代變量的增量向量{ΔX}。
對于幾何非線性影響較大的結構，求得的迭代變量作用于結構上，并不能使目標變量達到期望值。需按步驟1)～步驟4)重復進行迭代計算，直到目標變量誤差向量的范數(shù)小于指定誤差為止。
在計算主纜和吊索相互耦合的空間纜索線形時，采用上述影響矩陣法編制了程序，在計算中發(fā)現(xiàn)，當?shù)踔灯x真實值較多時，計算無法收斂。為了解決這一問題，提出了修正的影響矩陣法:即在計算影響矩陣的系數(shù)時，迭代變量的改變量根據(jù)上一輪計算的目標變量的誤差值來確定，不再保持為恒定值。設第k輪的迭代變量為{X}K=(xk1，xk2，…，xkn)T，計算所得的目標變量的誤差向量為{E}K=(ek1，ek2，…，ekn)T，則計算第k+1輪迭代變量增量向量{ΔX}k+1的影響矩陣按式(2)計算。
對于修正的影響矩陣法，在計算影響矩陣時迭代變量的改變值根據(jù)上一輪誤差大小自動調(diào)整，避免了整個迭代過程在計算影響矩陣時采用恒定的增量，使得迭代變量修正量的預測精度提高，從而使得整個算法的效率提高。采用修正的影響矩陣法編制的空間纜索線形程序SPCC應用表明:對迭代初值的要求低，具有較高的計算精度及收斂速度。
結束語
基于空間懸鏈線理論，建立了空間主纜線形的迭代算法及空間主纜與空間鞍座的切點位置的計算方法，采用數(shù)值解析法編制了相應的空間纜索線形計算程序SPCC。利用編制的程序?qū)|索系統(tǒng)進行計算分析，該套程序計算精度高、收斂速度快，能準確考慮塔頂鞍座、散索鞍及錨跨分散索股的影響。
參考文獻
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